تقسیم چند جمله ای ها با استفاده از تقسیم مصنوعی

تقسیم چندجمله ای ها می تواند فرآیند پیچیده ای باشد، اما استفاده از تقسیم مصنوعی می تواند کار را به طور قابل توجهی ساده کند. تقسیم مصنوعی روشی است که برای تقسیم چندجمله ای ها بر یک عامل خطی استفاده می شود.

مرحله 1: مشکل را درک کنید

قبل از فرو رفتن در فرآیند تقسیم، بسیار مهم است که مشکل موجود را درک کنید. مطمئن شوید که درک واضحی از چند جمله ای که در حال تقسیم آن هستید و مقسوم علیه (ضریب خطی) درگیر دارید.

مرحله 2: راه اندازی بخش

برای شروع تقسیم مصنوعی، مسئله را با نوشتن سود (چند جمله ای تقسیم شده) و مقسوم علیه (ضریب خطی) در جای مناسب خود تنظیم کنید.

برای مثال، فرض کنید می‌خواهیم چند جمله‌ای P(x) را بر ضریب خطی (x – a) تقسیم کنیم. P(x) را به صورت زیر بنویسید:

P(x) = ax^n + bx^(n-1) + cx^(n-2) + … + k

و مقسوم علیه (x – a) را به صورت زیر بنویسید:

(x – a)

مرحله 3: ضرایب را شناسایی کنید

ضرایب سود تقسیمی را به ترتیب نزولی توان آنها شناسایی و فهرست کنید. این مرحله تضمین می‌کند که تمام اصطلاحات در طول تقسیم مصنوعی به حساب می‌آیند.

برای مثال، اگر P(x) = 3x^3 + 2x^2 – 5x + 1 باشد، ضرایب عبارتند از:

a = 3 b = 2 c = -5 k = 1

مرحله 4: جدول تقسیم مصنوعی را تنظیم کنید

یک جدول تقسیم مصنوعی برای سازماندهی محاسبات ایجاد کنید. تعداد ردیف های جدول باید برابر با درجه سود به اضافه یک باشد.

در مثال ما، از آنجایی که P(x) یک چند جمله ای مکعبی است (درجه 3)، جدول دارای چهار ردیف خواهد بود.
<جدول>

abck

مرحله 5: ضریب اول را پایین بیاورید

اولین ضریب (a) را از سود تقسیمی در جدول تقسیم مصنوعی کپی کنید و آن را در ردیف اول زیر ستون مربوطه قرار دهید.

در مثال ما، a = 3 را در ردیف اول ستون “a” کپی می کنیم:
<جدول>

abck
3

مرحله 6: ضرب و اضافه کنید

تقسیم کننده (x – a) را در مقدار ردیف اول ستون “a” ضرب کنید. نتیجه را در ردیف دوم زیر ستون مربوطه بنویسید.

در ادامه مثال خود، a = 2 را فرض می کنیم. (x – 2) را در 3 ضرب می کنیم:

(x – 2) * 3 = 3x – 6

این نتیجه را در سطر دوم ستون b بنویسید:
<جدول>

abck
33

مرحله 7: اضافه کردن ضرایب

مقادیر را در هر ستون به صورت عمودی، به استثنای ردیف اول، اضافه کنید. این نتایج را در سطرها و ستون های مربوطه بنویسید.

در مثال ما، مقادیر را در ستون های “b” و “c” اضافه می کنیم:

3 + 2 = 5

این نتیجه را در ردیف سوم ستون “c” بنویسید:
<جدول>

abck
335

مرحله 8: مراحل 6 و 7 را تکرار کنید

مراحل 6 و 7 را تکرار کنید تا تمام ضرایب پردازش شوند. به ضرب مقسوم علیه در مقدار ردیف اول هر ستون ادامه دهید و نتایج را به صورت عمودی اضافه کنید.

برای مثال ما، ضریب بعدی را d = -4 فرض می کنیم:

(x – 2) * 5 = 5x – 10

مقادیر را در ستون های “c” و “k” اضافه کنید:

5 + (-5) = 0

این نتایج را در سطر چهارم ستون های مربوطه بنویسید:
<جدول>

abck
3350

مرحله 9: نتایج را تفسیر کنید

آخرین ردیف جدول تقسیم مصنوعی، ضرایب چند جمله ای ضریب را نشان می دهد. در مثال ما، چند جمله ای ضریب به صورت زیر خواهد بود:

Q(x) = 3x^2 + 3x + 5

مرحله 10: راه حل را تأیید کنید

برای تأیید جواب خود، یک بررسی سریع با ضرب مقسوم علیه (x – a) در چند جمله ای ضریب (Q(x)) انجام دهید. نتیجه باید برابر با سود اصلی (P(x)) باشد.

در مثال ما، (x – 2) را در Q(x) ضرب کنید:

(x – 2) (3x^2 + 3x + 5) = 3x^3 + 2x^2 – 5x + 1

نتیجه با سود اصلی ما مطابقت دارد، تأیید می کند که تقسیم مصنوعی ما به درستی انجام شده است.

با دنبال کردن این ده مرحله، می توانید چند جمله ای ها را با استفاده از تقسیم مصنوعی با موفقیت تقسیم کنید. به یاد داشته باشید که وقت خود را صرف کنید، محاسبات خود را دوباره بررسی کنید و با مثال های مختلف تمرین کنید تا درک خود را از روند تقویت کنید.

نکاتی برای تقسیم چندجمله ای ها با استفاده از تقسیم مصنوعی

در اینجا چند نکته اضافی وجود دارد که به شما در تسلط بر تقسیم مصنوعی کمک می کند:

قبل از اقدام به تقسیم مصنوعی، با تقسیم طولانی چند جمله ای آشنا شوید. درک فرآیند تقسیم طولانی می تواند درک عمیق تری از تقسیم مصنوعی ارائه دهد.
مطمئن شوید که مقسوم‌کننده به شکل (x – a) است که در آن “a” یک ثابت است. اگر مقسوم‌کننده به این شکل نیست، ممکن است لازم باشد از روش‌های دیگری مانند فاکتورگیری یا تقسیم طولانی چند جمله‌ای استفاده کنید.
هنگام انجام محاسبات به علائم و عملیات دقت کنید. اشتباه در قرار دادن علامت یا محاسبات می تواند منجر به نتایج نادرست شود.
به طور منظم با مثال های مختلف تمرین کنید تا اعتماد به نفس و مهارت در تقسیم مصنوعی ایجاد کنید.
از ماشین‌حساب‌های نموداری یا نرم‌افزار رایانه‌ای که از محاسبات چند جمله‌ای پشتیبانی می‌کند برای تأیید راه‌حل‌هایتان و بررسی کارتان استفاده کنید.
اگر باقیمانده تقسیم مصنوعی صفر نباشد، نشان می‌دهد که مقسوم‌کننده عاملی از سود سهام نیست و نتیجه به‌دست‌آمده فقط یک تقریب است.
تقسیم مصنوعی معمولاً هنگام تقسیم چندجمله‌ای بر فاکتورهای خطی (قسم‌گیرنده درجه 1) استفاده می‌شود. برای مقسوم‌کننده‌های درجه بالاتر، تقسیم طولانی چند جمله‌ای ممکن است مناسب‌تر باشد.
به جای اینکه صرفاً بر حفظ کردن تکیه کنید، مفاهیم پشت تقسیم مصنوعی را درک کنید. این به شما امکان می دهد تا روش را با سناریوهای مختلف تطبیق داده و اعمال کنید.

به یاد داشته باشید، تمرین وقتی صحبت از تقسیم چندجمله‌ای با استفاده از تقسیم مصنوعی می‌شود، عالی می‌شود. با گذشت زمان و تجربه، در این تکنیک مهارت بیشتری پیدا خواهید کرد.

منابع :‌